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2009年首屆全國大學生數學競賽大綱

2014-06-26 17:29:59 來源:中國大學生數學競賽網站
內容提要:中國大學生數學競賽競賽大綱(初稿)
為了進一步推動高等學校數學課程的改革和建設,提高大學數學課程的教學水平,激勵大學生學習數學的興趣,發現和選拔數學創新人才,更好地實現“中國大學生數學競賽”的目標,特制訂本大綱。
一、競賽的性質和參賽對象
“中國大學生數學競賽”的目的是:激勵大學生學習數學的興

中國大學生數學競賽競賽大綱(初稿)

為了進一步推動高等學校數學課程的改革和建設,提高大學數學課程的教學水平,激勵大學生學習數學的興趣,發現和選拔數學創新人才,更好地實現“中國大學生數學競賽”的目標,特制訂本大綱。

一、競賽的性質和參賽對象

“中國大學生數學競賽”的目的是:激勵大學生學習數學的興趣,進一步推動高等學校數學課程的改革和建設,提高大學數學課程的教學水平,發現和選拔數學創新人才。

“中國大學生數學競賽”的參賽對象為大學本科二年級及二年級以上的在校大學生。

二、競賽的內容

“中國大學生數學競賽”分為數學專業類競賽題和非數學專業類競賽題。

(一)中國大學生數學競賽(數學專業類)競賽內容為大學本科數學專業基礎課的教學內容,即,數學分析占50%,高等代數占35%,解析幾何占15%,具體內容如下:

Ⅰ、數學分析部分

一、集合與函數

1. 實數集、有理數與無理數的稠密性,實數集的界與確界、確界存在性定理、閉區間套定理、聚點定理、有限覆蓋定理.

2. 上的距離、鄰域、聚點、界點、邊界、開集、閉集、有界(無界)集、上的閉矩形套定理、聚點定理、有限復蓋定理、基本點列,以及上述概念和定理在上的推廣.

3. 函數、映射、變換概念及其幾何意義,隱函數概念,反函數與逆變換,反函數存在性定理,初等函數以及與之相關的性質.

二、極限與連續

1. 數列極限、收斂數列的基本性質(極限唯一性、有界性、保號性、不等式性質).

2. 數列收斂的條件(Cauchy準則、迫斂性、單調有界原理、數列收斂與其子列收斂的關系),極限及其應用.

3.一元函數極限的定義、函數極限的基本性質(唯一性、局部有界性、保號性、不等式性質、迫斂性),歸結原則和Cauchy收斂準則,兩個重要極限及其應用,計算一元函數極限的各種方法,無窮小量與無窮大量、階的比較,記號Oo的意義,多元函數重極限與累次極限概念、基本性質,二元函數的二重極限與累次極限的關系.

4. 函數連續與間斷、一致連續性、連續函數的局部性質(局部有界性、保號性),有界閉集上連續函數的性質(有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致連續性).

三、一元函數微分學

1.導數及其幾何意義、可導與連續的關系、導數的各種計算方法,微分及其幾何意義、可微與可導的關系、一階微分形式不變性.

2.微分學基本定理:Fermat定理,Rolle定理,Lagrange定理,Cauchy定理,Taylor公式(Peano余項與Lagrange余項).

3.一元微分學的應用:函數單調性的判別、極值、最大值和最小值、凸函數及其應用、曲線的凹凸性、拐點、漸近線、函數圖象的討論、洛必達(L'Hospital)法則、近似計算.

   四、多元函數微分學

1. 偏導數、全微分及其幾何意義,可微與偏導存在、連續之間的關系,復合函數的偏導數與全微分,一階微分形式不變性,方向導數與梯度,高階偏導數,混合偏導數與順序無關性,二元函數中值定理與Taylor公式.

2.隱函數存在定理、隱函數組存在定理、隱函數(組)求導方法、反函數組與坐標變換.

3.幾何應用(平面曲線的切線與法線、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線).

4.極值問題(必要條件與充分條件),條件極值與Lagrange乘數法.

五、一元函數積分學

1. 原函數與不定積分、不定積分的基本計算方法(直接積分法、換元法、分部積分法)、有理函數積分:型,.

2. 定積分及其幾何意義、可積條件(必要條件、充要條件:)、可積函數類.

3. 定積分的性質(關于區間可加性、不等式性質、絕對可積性、定積分第一中值定理)、變上限積分函數、微積分基本定理、N-L公式及定積分計算、定積分第二中值定理.

4.無限區間上的廣義積分、Canchy收斂準則、絕對收斂與條件收斂、非負時的收斂性判別法(比較原則、柯西判別法)、Abel判別法、Dirichlet判別法、無界函數廣義積分概念及其收斂性判別法.

5. 微元法、幾何應用(平面圖形面積、已知截面面積函數的體積、曲線弧長與弧微分、旋轉體體積),其他應用.

六、多元函數積分學

1.二重積分及其幾何意義、二重積分的計算(化為累次積分、極坐標變換、一般坐標變換).

2.三重積分、三重積分計算(化為累次積分、柱坐標、球坐標變換).

3.重積分的應用(體積、曲面面積、重心、轉動慣量等).

4.含參量正常積分及其連續性、可微性、可積性,運算順序的可交換性.含參量廣義積分的一致收斂性及其判別法,含參量廣義積分的連續性、可微性、可積性,運算順序的可交換性.

5.第一型曲線積分、曲面積分的概念、基本性質、計算.

6.第二型曲線積分概念、性質、計算;Green公式,平面曲線積分與路徑無關的條件.

7.曲面的側、第二型曲面積分的概念、性質、計算,奧高公式、Stoke公式,兩類線積分、兩類面積分之間的關系.

    七、無窮級數

1. 數項級數

級數及其斂散性,級數的和,Cauchy準則,收斂的必要條件,收斂級數基本性質;正項級數收斂的充分必要條件,比較原則、比式判別法、根式判別法以及它們的極限形式;交錯級數的Leibniz判別法;一般項級數的絕對收斂、條件收斂性、Abel判別法、Dirichlet判別法.

2. 函數項級數

函數列與函數項級數的一致收斂性、Cauchy準則、一致收斂性判別法(M-判別法、Abel判別法、Dirichlet判別法)、一致收斂函數列、函數項級數的性質及其應用.

3.冪級數

冪級數概念、Abel定理、收斂半徑與區間,冪級數的一致收斂性,冪級數的逐項可積性、可微性及其應用,冪級數各項系數與其和函數的關系、函數的冪級數展開、Taylor級數、Maclaurin級數.

4.Fourier級數

三角級數、三角函數系的正交性、22周期函數的Fourier級數展開、 Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函數的Fourier級數的收斂性定理.

Ⅱ、高等代數部分

一、              多項式

1.     數域與一元多項式的概念

2.     多項式整除、帶余除法、最大公因式、輾轉相除法

3.     互素、不可約多項式、重因式與重根.

4.     多項式函數、余數定理、多項式的根及性質.

5.     代數基本定理、復系數與實系數多項式的因式分解.

6.     本原多項式、Gauss引理、有理系數多項式的因式分解Eisenstein判別法、有理數域上多項式的有理根.

7.     多元多項式及對稱多項式、韋達(Vieta)定理.

二、             行列式

1.     n級行列式的定義.

2.     n級行列式的性質.

3.     行列式的計算.

4.     行列式按一行(列)展開.

5.     拉普拉斯(Laplace)展開定理.

6.     克拉默(Cramer)法則.

 線性方程組

1. 高斯(Gauss)消元法、線性方程組的初等變換、線性方程組的一般解.

2. n維向量的運算與向量組.

3. 向量的線性組合、線性相關與線性無關、兩個向量組的等價.

4. 向量組的極大無關組、向量組的秩.

5. 矩陣的行秩、列秩、秩、矩陣的秩與其子式的關系.

6. 線性方程組有解判別定理、線性方程組解的結構.

7. 齊次線性方程組的基礎解系、解空間及其維數

四、 矩陣

1. 矩陣的概念、矩陣的運算(加法、數乘、乘法、轉置等運算)及其運算律.

2. 矩陣乘積的行列式、矩陣乘積的秩與其因子的秩的關系.

3. 矩陣的逆、伴隨矩陣、矩陣可逆的條件.

4. 分塊矩陣及其運算與性質.

5. 初等矩陣、初等變換、矩陣的等價標準形.

6. 分塊初等矩陣、分塊初等變換.

五、  雙線性函數與次型

1.     雙線性函數、對偶空間

2.     二次型及其矩陣表示.

3.     二次型的標準形、化二次型為標準形的配方法、初等變換法、正交變換法.

4.     復數域和實數域上二次型的規范形的唯一性、慣性定理.

5.     正定、半正定、負定二次型及正定、半正定矩陣

六、  線性空間

1.     線性空間的定義與簡單性質.

2.     維數,基與坐標.

3.     基變換與坐標變換.

4.     線性子空間.

5.     子空間的交與和、維數公式、子空間的直和.

七、 線性變換

1.     線性變換的定義、線性變換的運算、線性變換的矩陣.

2.     特征值與特征向量、可對角化的線性變換.

3.     相似矩陣、相似不變量、哈密爾頓-凱萊定理.

4.     線性變換的值域與核、不變子空間.

八、若當標準形

1.矩陣.

2. 行列式因子、不變因子、初等因子、矩陣相似的條件.

3. 若當標準形.

九、 歐氏空間

1.     內積和歐氏空間、向量的長度、夾角與正交、度量矩陣.

2.     標準正交基、正交矩陣、施密特(Schmidt)正交化方法.

3.     歐氏空間的同構.

4.     正交變換、子空間的正交補.

5.     對稱變換、實對稱矩陣的標準形.

6.     主軸定理、用正交變換化實二次型或實對稱矩陣為標準形.

7.     酉空間.

Ⅲ、解析幾何部分

一、向量與坐標

1. 向量的定義、表示、向量的線性運算、向量的分解、幾何運算.

2. 坐標系的概念、向量與點的坐標及向量的代數運算.

3. 向量在軸上的射影及其性質、方向余弦、向量的夾角.

4. 向量的數量積、向量積和混合積的定義、幾何意義、運算性質、計算方法及應用.

5. 應用向量求解一些幾何、三角問題.

二、軌跡與方程

1.曲面方程的定義:普通方程、參數方程(向量式與坐標式之間的互化)及其關系.

2.空間曲線方程的普通形式和參數方程形式及其關系.

3.建立空間曲面和曲線方程的一般方法、應用向量建立簡單曲面、曲線的方程.

4.球面的標準方程和一般方程、母線平行于坐標軸的柱面方程.

三、平面與空間直線

1.平面方程、直線方程的各種形式,方程中各有關字母的意義.

2.從決定平面和直線的幾何條件出發,選用適當方法建立平面、直線方程.

3.根據平面和直線的方程,判定平面與平面、直線與直線、平面與直線間的位置關系.

4. 根據平面和直線的方程及點的坐標判定有關點、平面、直線之間的位置關系、計算他們之間的距離與交角等;求兩異面直線的公垂線方程.    

四、二次曲面

    1.柱面、錐面、旋轉曲面的定義,求柱面、錐面、旋轉曲面的方程.

2.橢球面、雙曲面與拋物面的標準方程和主要性質,根據不同條件建立二次曲面的標準方程.

3.單葉雙曲面、雙曲拋物面的直紋性及求單葉雙曲面、雙曲拋物面的直母線的方法.

4.根據給定直線族求出它表示的直紋面方程,求動直線和動曲線的軌跡問題.

五、二次曲線的一般理論

1.二次曲線的漸進方向、中心、漸近線.

2.二次曲線的切線、二次曲線的正常點與奇異點.

3.二次曲線的直徑、共軛方向與共軛直徑.

4.二次曲線的主軸、主方向,特征方程、特征根.

5.化簡二次曲線方程并畫出曲線在坐標系的位置草圖.

(二)中國大學生數學競賽(非數學專業類)競賽內容為大學本科理工科專業高等數學課程的教學內容,具體內容如下:

一、函數、極限、連續

1.  函數的概念及表示法、簡單應用問題的函數關系的建立.

2.  函數的性質:有界性、單調性、周期性和奇偶性.

3.  復合函數、反函數、分段函數和隱函數、基本初等函數的性質及其圖形、初等函數.

4.  數列極限與函數極限的定義及其性質、函數的左極限與右極限.

5.  無窮小和無窮大的概念及其關系、無窮小的性質及無窮小的比較.

6.  極限的四則運算、極限存在的單調有界準則和夾逼準則、兩個重要極限.

7.  函數的連續性(含左連續與右連續)、函數間斷點的類型.

8.  連續函數的性質和初等函數的連續性.

9.  閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).

二、一元函數微分學

1. 導數和微分的概念、導數的幾何意義和物理意義、函數的可導性與連續性之間的關系、平面曲線的切線和法線.

2. 基本初等函數的導數、導數和微分的四則運算、一階微分形式的不變性.

3. 復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法.

4. 高階導數的概念、分段函數的二階導數、某些簡單函數的n階導數.

5. 微分中值定理,包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.

6. 洛必達(LHospital)法則與求未定式極限.

7. 函數的極值、函數單調性、函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線(水平、鉛直和斜漸近線)、函數圖形的描繪.

8. 函數最大值和最小值及其簡單應用.

9. 弧微分、曲率、曲率半徑.

三、一元函數積分學

1.     原函數和不定積分的概念.

2.     不定積分的基本性質、基本積分公式.

3.     定積分的概念和基本性質、定積分中值定理、變上限定積分確定的函數及其導數、牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式.

4.     不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法.

5.     有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分.

6.     廣義積分.

7.     定積分的應用:平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力及函數的平均值.

.常微分方程

1.     常微分方程的基本概念:微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等.

2.     變量可分離的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.

3.     可用簡單的變量代換求解的某些微分方程、可降階的高階微分方程:  .

4.     線性微分方程解的性質及解的結構定理.

5.     二階常系數齊次線性微分方程、高于二階的某些常系數齊次線性微分方程.

6.     簡單的二階常系數非齊次線性微分方程:自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數,以及它們的和與積

7.     歐拉(Euler)方程.

8.     微分方程的簡單應用

五、向量代數和空間解析幾何

1.     向量的概念、向量的線性運算、向量的數量積和向量積、向量的混合積.

2.     兩向量垂直、平行的條件、兩向量的夾角.

3.     向量的坐標表達式及其運算、單位向量、方向數與方向余弦.

4.     曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程.

5.     平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件、點到平面和點到直線的距離.

6.     球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形.

7.     空間曲線的參數方程和一般方程、空間曲線在坐標面上的投影曲線方程.

六、多元函數微分學

1.     多元函數的概念、二元函數的幾何意義.

2.     二元函數的極限和連續的概念、有界閉區域上多元連續函數的性質.

3.     多元函數偏導數和全微分、全微分存在的必要條件和充分條件.

4.     多元復合函數、隱函數的求導法.

5.     二階偏導數、方向導數和梯度.

6.     空間曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線.

7.     二元函數的二階泰勒公式.

8.     多元函數極值和條件極值、拉格朗日乘數法、多元函數的最大值、最小值及其簡單應用.

七、多元函數積分學 

1.     二重積分和三重積分的概念及性質、二重積分的計算(直角坐標、極坐標)、三重積分的計算(直角坐標、柱面坐標、球面坐標).

2.     兩類曲線積分的概念、性質及計算、兩類曲線積分的關系.

3.     格林(Green)公式、平面曲線積分與路徑無關的條件、已知二元函數全微分求原函數.

4.     兩類曲面積分的概念、性質及計算、兩類曲面積分的關系.

5.     高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及計算.

6.     重積分、曲線積分和曲面積分的應用(平面圖形的面積、立體圖形的體積、曲面面積、弧長、質量、質心、轉動慣量、引力、功及流量等)

八、無窮級數

1.     常數項級數的收斂與發散、收斂級數的和、級數的基本性質與收斂的必要條件.

2.     幾何級數與p級數及其收斂性、正項級數收斂性的判別法、交錯級數與萊布尼茨(Leibniz)判別法.

3.     任意項級數的絕對收斂與條件收斂.

4.     函數項級數的收斂域與和函數的概念.

5.     冪級數及其收斂半徑、收斂區間(指開區間)、收斂域與和函數.

6.     冪級數在其收斂區間內的基本性質(和函數的連續性、逐項求導和逐項積分)、簡單冪級數的和函數的求法.

7.     初等函數的冪級數展開式.

8.       函數的傅里葉(Fourier)系數與傅里葉級數、狄利克雷(Dirichlei)定理、函數在[-ll]上的傅里葉級數、函數在[0,l]上的正弦級數和余弦級數

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